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开通短信通知的银行卡，即使不再使用，也可能累积欠费。因为银行短信通知服务是需要收费的，即使银行卡处于未使用状态，银行仍然会发送短信通知，并产生相应的费用。如果这些费用未得到及时支付，便会产生欠费。因此，如果用户不再使用某张银行卡，建议及时联系银行客服取消短信通知服务，以避免累积欠费。

不过，有些银行在银行卡欠费后会有一定的宽限期，在此期间内还清欠款则不会造成太大影响，但具体的欠费规定和后果可能会因银行而异，建议直接咨询相关银行的客服人员，了解具体的欠费情况和处理方式。